La loi du moindre effort

On m’a un jour demandé s’il était possible, dans une carte de positionnement issue d’une AFC, de répercuter sur les variables initiales le déplacement d’un point sur la carte. Sachant qu'il est plus facile d'exprimer un objectif de positionnement à partir d'une carte qu'à partir d'items corrélés, cette question est intéressante. C’est possible, et cela d’autant plus qu’il y a une infinité de solutions. Je vous en propose une qui a le mérite d’être basée sur un principe qui m’est cher, celui de la loi du moindre effort. Je l’utilise parfois en me gardant d’expliquer de quel chapeau je sors ce lapin.

Soit :
N(j) la note du point qui se déplace sur l’item j.
Y(jk) le score factoriel de l'item j sur l'axe k (carte obtenue par AFC des notes).
λ(k) la valeur propre de l'axe k.
Δ(j) la progression requise sur l'item j par le point qui se déplace pour atteindre le positionnement souhaité (ce sont les inconnues).
X(k) le score factoriel actuel du point qui se déplace sur l'axe k (son positionnement actuel).
X*(k) le score factoriel recherché sur l'axe k, c'est-à-dire l'objectif de positionnement.

Le score factoriel recherché est donné par la formule de transition de l'AFC :

X*k = [1/√λ(k)]×ΣY(jk)×[(N(j)+Δ(j) )/[ΣN(j)+ΣΔ(j)]

Le problème d'optimisation consiste à trouver les Δ(j) tels que X(k) → X*(k) en minimisant le déplacement sur les notes initiales. En d'autres termes, on veut atteindre l'objectif de positionnement à moindre coût. J’utilise la fonction objective suivante :

Minimiser Σ[X*(k)-X(k)]puissance 2 + Σ absolu[Δ(j)].

Cette optimisation se fait très facilement avec le solveur d’Excel. A l'optimum, le premier terme tend vers 0, on minimise donc bien le déplacement exprimé en termes d'items (le second terme).